|
İçindekiler
SAYI DOĞRUSUNUN
ÖĞRETİMİNDE YENİ BİR YAKLAŞIM
Yard. Doç.
Dr. Murat Altun,
maltun@uludag.edu.tr
Uludağ Üniversitesi
Abstract:
The teaching of number-line concept begins from the
first year on in the programs of mathematics courses.
Number line is not only a basic concept in mathematics,
but also an important medium in progressing mental computation
and improving problem solving skills. In this study,
a new approach to teaching number line called "apple-stair"
is set forth. This approach is suitable for Realistic
Mathematics Education. At the end of this study, it
was found that "apple-stair" is a good model
for teaching number line.
Öz: Sayı
doğrusunun öğretimine, matematik programlarında,
öğretimin ilk yıllardan itibaren yer verilir. Sayı
doğrusu, matematiğin temel kavramlarından biri olmanın
yanı sıra, sayıların sıralanması, zihinden hesaplama
ve problem çözme becerilerinin geliştirilmesi
bakımından da önemli bir araç olma özelliği
taşımaktadır. Bu çalışmada sayı doğrusunun öğretimi
ile ilgili olarak Gerçekçi Matematik Eğitimi'ne
(RME) uygun bir yaklaşım önerilmiş ve önerilen
modelle ilgili bir deneysel çalışma yapılmıştır.
Çalışma sonunda elma merdiveni modeli" sayı
doğrusunun kazandırılması için iyi bir model
olarak görünmüştür.
Giriş
Sayı doğrusu sayıların sıralanması, büyüklük
küçüklük ilişkileri, zihinden hesap
yapmayı kolaylaştıracak bir model ve problemlerin şemalaştırılmasına
uygun bir araç olması nedeniyle matematik programlarında
yer alır ve öğretimine ilköğretimin ilk yıllarındayken
başlanır. İlerleyen yıllar içinde, tamsayıların,
rasyonel sayıların, reel sayıların öğretiminde zorunlu
olarak üzerinde çalışılan ve faydalanılan
bir kavramdır. Ayrıca topolojik olarak bir boyutlu uzaydır
ve bundan ötürü önemlidir. Bu çalışmada
sayı doğrusu, ilköğretimin ilk yıllarındaki işlevleri
bakımından ele alınmakta ve nasıl öğretilmesi gerektiği
üzerinde durulmaktadır.
Sayı doğrusunun matematik
öğretimindeki yeri ve önemi üstüne
Hollanda'da birkaç önemli çalışma yapılmıştır.
Treffers (1991) küçük sınıflarda öğretici
bir model olarak boş sayı doğrusunu önermiştir. Bu
model sadece 20nin altındaki küçük sayılarla
işlem yapmak için değil, aynı zamanda 100'e kadar
büyük sayılarla zihinden işlem yapmak için
kullanılır. Zihinsel aritmetik, yazılı işleme yardımcı
bir unsur olmanın ötesinde çocukların informal
stratejilerini kullanma, bunları okula taşıma, esnek hesaplama
ve problem çözme stratejilerinin daha ileri
boyutlarda geliştirilmesi için bir dayanaktır.
Bundan ötürü Hollanda'da basamak kavramına
dayalı sütun aritmetiğine 3üncü sınıfa
kadar başlanmamaktadır.
100'e kadar toplama
ve çıkarma işlemlerinin yapılmasında, sayı doğrusu
ve daha sonra boş sayı doğrusu oklar ve sıçramalar
suretiyle sayıların görüntülenmesine imkan
vermesi bakımından tercih edilen bir araçtır. Bu
yönüyle yüzlük sayı karesine göre
daha üstündür. Klein ve arkadaşları (1998),
ikinci sınıf öğrencilerinin işlem yapmada boş sayı
doğrusunu kullanmalarına ilişkin yaptıkları deneysel çalışmalarda
sayı doğrusunun işlem öğretiminde kullanılan şekillerini
geniş biçimde çalışmışlardır. Bu çalışmada
sayı doğrusunu işlem yapmada kullanım biçimi ile
ilgili birkaç örnek aşağıda verilmektedir.
Bu örneklerde
gözlenebildiği gibi çocuklar işlemleri yapmada
sayı doğrusunu kullandıkları takdirde oldukça serbest
davranabilmekte ve kendi stratejilerini kullanabilmektedirler.
Zaman içinde çocukların bu hesapları boş
sayı doğrusunun kullanılmadan veya daha pratik kullanarak,
örneğin 42 + 43 = 85 işlemini 40 + 40 = 80 , 2 +3
= 5 ve 80 +5 = 85 şeklinde yaptıkları gözlenmiştir.
Türkiye'de yürürlükte
bulunan İlköğretim Matematik Programı'nın (İMP) birinci
sınıfla ilgili olan kısmında "sayı doğrusunu kavrayabilme"
diye bir hedef ve bu hedefin açılımında davranış
ifadeleri olarak "D1: Sayı doğrusu üzerine verilen
doğal sayıları okuma, D2: Sayı doğrusu üzerinde boş
bırakılan yerlere uygun doğal sayıları yazma, D3: Bir
sayı doğrusu yaparak, belirtilen sayıları bu sayı doğrusu
üzerinde yerleştirme" ifadeleri yer almaktadır
(İMP s:44). İMP'nin yine birinci sınıfta toplama, çıkarma,
çarpma işlemleriyle ilgili hedef ve davranışlarının
arasında, "işlemi sayı doğrusunda gösterme,
işlemi sayı doğrusundan yararlanarak çözme"
şeklinde davranış ifadelerine yer verilmektedir (İMP s:
51, 52, 57, 64). Programın, öğrenme ve öğretme
etkinlikleri kısmında sayı doğrusuna yer verilmediğinden
bu kavramın verilmesi hususunda bir fikir edinme şansı
bulunamamıştır.
Matematik soyutlama
bilimidir ve matematiğin temel elemanlarından olan sayılarda
soyut kavramlardır, dolayısıyla sayı doğrusu da soyuttur.
Soyut bir kavramın birinci sınıfta öğretimi söz
konusu olunca, öğretimine bir özen gösterilmesi
gerektiği ortaya çıkmaktadır. "Matematik dersi
öğretmeni, birinci sınıf çocuğunun 7 olan
yaşını dikkate alarak, kavramın öğretimini ertelemeli
mi? Program bütünlüğü içinde
ertelenemeyecek ise, öğretimi nasıl yapılmalı?"
gibi soruların açıklığa kavuşturulması gerekmektedir.
Türkiye'de ilköğretim
matematik ders kitaplarında sayı doğrusunun öğretimi
doğrudan, şekli çizilerek tanıtılmakta, bazen bahçe
çiti v.s. gibi modeller referans alınmaktadır.RME'nin
kurucusu Freudenthal'a göre tüm matematik kavramları
insanın gerçek hayatı matematikleştirmesi suretiyle
ortaya çıkmıştır (Gravemeijer, 1990). Öyleyse
sayı doğrusunun öğretimi de gerçek bir durumun
matematikleştirilmesi suretiyle olabilir. Böyle yapılmadan
"bunun adı sayı doğrusu" gibi tutumla öğretim
yapıldığında, öğretmenin her dediğinin doğru olduğuna
inandıkları için, muhtemelen öğrencilerin
bir itirazları veya memnuniyetsizlikleri olmayacaktır.
Matematik öğretiminde bu tür bir tavır süreklilik
gösterirse, bir süre sonra matematik, içinde
bir çok kabul bilgisi de bulunan bir kurallar topluluğu,
karmakarışık bir ders halini alacaktır. Bu tutum, zaman
içinde, başta fark edilemeyen fakat öğretmenin
eliyle gelişen başaramama duygusunu ortaya çıkarmakta,
bu da matematik kaygısına yol açmaktadır (Skemp1986).
Sayı doğrusunun, öğrenciler
tarafından inşasının, onun etkili kullanımını kolaylaştıracağı
açıktır. Sayı doğrusunun inşası ile ilgili modellerden
biri sayma ipidir.
Sayma
İpi
Treffers (1991), sayı doğrusunun inşasında bir sayma ipinin
(üzerine boncukların dizili olduğu ip) kullanılabileceğini
önermiştir. Bu ip sayma sayıları doğrusunun inşası
için uygun bir modeldir, ancak bu modelde sıfırın
nereye eşleneceği sorun yaratmaktadır. İlk boncuk sıfır
olarak kabul edilirse sıfırın boştan farklı bir kümeye
eşlenmesi söz konusu olmaktadır ki bu yanlıştır.
Boncuk olamayan konuma sıfır denecek olursa "Bu konum
bire (1) ne kadar uzaklıktadır ve bu uzaklığın iki katı
kadar geride olan noktadan farkı nedir?" soruları
akla gelmektedir.
Ayrıca sayma ipi,
sayıları bir aralığa eşlemek yerine bir noktaya eşlemektedir.
Oysaki sayı doğrusunun problem çözme veya
hesaplama yapmada bir araç olarak kullanılması
halinde sayılar aralıklara örneğin bir insanın adımlarına,
eşlenmektedirler. Sayma ipinde boncukların birbirlerine
dokunur konumda duruyor olmaları aralık fikrini ortadan
kaldırmaktadır. Bu konumuyla sayma ipi iyi bir sayma aracıdır
fakat hesaplama aracı değildir.
Bir Model
Olarak Elma Merdiveni
Bu çalışmada sayı doğrusunun
inşası için önerilen modelin adı "elma
merdiveni" modelidir. Bu modelin önerilmesinde,
RME'nin matematikleştirme için önerdiği üç
temel ilkeye (1. Yönlendirilmiş keşfetme ve matematikleştirmeyi
geliştirme, 2. Çevre problemlerinin uyarıcı olması
ve kavramın, sürecin yeniden keşfi ile kazanılması,
3. İnformal matematik bilgi ile formal matematik bilgi
arasında köprü rolü üstlenerek kendi
kendine gelişen modellere yer verme) dikkat edilmiştir
(Gravemeijer, 1994).
Şekil 2: Elma merdiveni
Elma merdiveni ana
taşıyıcı olarak dayanıklı bir ağaca eşit aralıklarla delikler
açmak ve bu deliklerden basamak görevi yapacak
çubukların geçirilmesi suretiyle inşa edilen
bir merdivendir. Bir meyve ağacına çıkmak için
çift taşıyıcılı merdivenlere göre daha kullanışlıdır.
Üzerinde adımlamak suretiyle ileri geri hareket söz
konusudur. Çocukların üzerinde hareket etmekten,
-Skemp'e (1986) göre onların fiziksel gelişmelerine
katkı vereceği için- hoşlandıkları bir araçtır.
Onların bu aracı kullanmaları için illa da faydacıl
bir durum gerekmez.
İMP'ye uygun olarak birinci sınıfta sayı doğrusunun öğretiminde
kullanılmak üzere seçilen elma merdiveni modelinin
uygulanışı aşağıda tanıtılmıştır.
Yöntem
Sayı doğrusunun öğretimi için,
ders kitaplarında herhangi bir öneri bulunmadığından
elma merdivenini esas alan bir çalışma planlanmış
ve Bursa-Samanlı İlköğretim okulunun 1inci sınıfında
uygulanmıştır. Çalışma öncesinde aynı zamanda
ilköğretim yüksek lisans öğrencisi olan
sınıf öğretmeni ile işbirliğine gidilmiş; öğretmen,
deneysel çalışmayı yürütebilmesi için
yetiştirilmiştir.
"Sayı doğrusunu kavrayabilme" şeklinde İMP deki
amaca uygun olarak hazırlanan ders planı çerçevesinde,
öğrencilere ilk derste üç aşamalı bir
çalışma yaptırılmıştır. Bunlar;
a) Merdivenin tanıtılması
b) Basamakların numaralandırılması ve 0'ın yeri
c) Sağdan uzayabileceğinin sezdirilmesidir.
Bu aşamalara uygun
olarak önce şekil 2'dekine benzer merdivenin daha
önce hazırlanmış maketi sınıfa getirilmiş ve öğrencilere
gösterilmiş, bu aracı tanıyıp tanımadıkları sorulmuştur.
Öğrencilerin % 80 ine yakın kısmı, onun bir merdiven
olduğunu ve nerelerde kullanıldığını açıklamış,
bir kısım öğrenci TV antenine benzetmiş, diğer kısım
fikir beyan etmemiştir. "Meyve toplama" eylemi
gündemde tutularak merdivenin nasıl kullanıldığı
anlatılmış, plastik bir bebek maketi kullanılarak merdivene
tırmanış canlandırılmıştır. Maket bebeğin bulunduğu değişik
konumlar için "Hangi (kaçıncı) basamakta?"
sorusu sorulmuş," tüm öğrenciler bu soruyu
doğru olarak yanıtlayabilmişlerdir. Bu açıklamalardan
sonra öğrencilere şekil 2'nin fotokopileri dağıtılmış
ve şekil 2'deki merdivenin basamaklarına kaçıncı
olduklarını gösteren sayıların yazılması istenmiştir.
Öğrenciler 1 den itibaren uygun sayıları yazmışlardır,
ancak birkaç öğrencinin merdiveni yukarıdan
aşağıya numaraladığı görülmüştür.
Bunun üzerine "merdivene tırmanma" ve "ilk
adım" hatırlatılarak düzeltmeleri sağlanmıştır.
Bu ilk derste yapılan
ikinci çalışma, meyve toplama işi bitince, numaralanmış
bulunan bu merdivenin ağaçtan indirilip yere yatırıldığını
gösteren şekli çizilerek, yatay modelde baştaki
basamağa kaç yazılacağı sorulmuştur. Öğrencilerin
buraya 0 ( sıfır) demekte zorlanmadıkları gözlenmiştir.
Þekil 3'de iki öğrencinin yatay merdiveni numaralayış
şekli görülmektedir.
Bu kısımdaki çalışmaları pekiştirmek üzere,
öğrencilere bu merdivene 2 şer 2 şer adım atarak
çıkıp çıkamayacakları sorulmuştur. Çıkabileceklerini
bildirmeleri üzerine ikişer-ikişer çıkan bir
çocuğun ayak basacağı basamakların işaretlenmesi
istenmiş, öğrenciler kendi çizdikleri merdivenlerde
bunları gösterebilmişlerdir. Az sayıda hatalı numaralama
yapan çocuklar arkadaşlarının müdahalesiyle
doğru numaralamayı başarmışlardır.
Bu dersteki çalışmanın
son aşamasında konuşmalar "daha yüksekte dallanmış
ağaçların meyvelerinin nasıl toplanacağı"
üstüne olmuştur. Bu soruna çözüm
olarak "daha uzun merdiven" cevabı alınınca,
12 basamaklı olan önceki merdivenin yatık duran şeklinin
bu iş içinin uygun hale getirilmesi istenmiştir.
Öğrencilerin % 80 i merdiveni sağ taraftan uzatarak
doğru cevabı elde ettiler. Birkaç öğrencinin
şekli doğru fakat sağ ucu yukarıya kıvırarak tamamladığı
görülmüştür.
Þekil 3: Merdivenin
numaralanması
Tamamlama çalışmalarının
arkasından dağlara çıkmak için bile merdiven
yapılabileceği hayal edilerek merdivenin sağdan istenildiği
kadar uzatılabileceği fikri sınıfça paylaşıldı.
Alıştırma olarak yatay duran merdivenlerde bazı basamaklar
numarasız bırakılmış ve öğrencilerin doldurmaları
istenmiştir. Öğrenciler numarasız kısımları doldurmada
hata yapmadılar.
Sayı doğrusunu kavrayabilme
amaçlı ikinci derste merdivenden sayı doğrusu elde
etme amacıyla çalışmalar yapıldı. Dersin ilk aşamasında
öğrencilerden yatık duran sayı merdivenini çizmeleri
istendi. Bu çalışmada öğrencilerin çoğu
10 dan çok basamaklı merdiven çizdi. Bazıları
fazla olduğunu düşünerek bir kısım basamakları
sildiler. En çok 20 basamaklı merdiven çizildi.
Bu merdivende "8. basamağa kadar çıkan birinin
çıktığı basamakları gösterelim mi?" sorusuna
öğrenciler bağlamak suretiyle şekil 4 teki gibi gösterdiler.
Bu çalışmayı pekiştirmek için 0'ı işaretlenmiş
boş sayı doğrusunda (merdiveninde) ikişer-ikişer sıçrayarak
yol alan kurbağanın hareketini göstermeleri istendi.
Öğrenciler bunda da oldukça başarılıydılar
ve kurbağanın değdiği ve değmediği sayıları doğru olarak
işaretlediler.
Bu dersteki üçüncü
çalışmada;
* İşlem sonuçlarının sayı doğrusunda gösterilmesi
istendi.
* Öğrencilere bir kanguru resmi gösterilip,
üzerinde konuşturuldu. Sıçrayarak hareket
ettiğini bilmeyen yoktu. Onlara kangurunun ağaç
kovuklarında yaşadığı ve zıplayarak yol aldığı açıklandı.
Temsili olarak çizilen bir ağaç kovuğundan
çıkan kangurunun aldığı yolu sayarak bulmaları
istendi,. Öğrenciler öğretmenin verdiği fotokopiyi
doldurarak kangurunun iki sıçrayışta yuvadan ne
kadar uzaklaşmış olduğunu gösterdiler.
Üç hafta
sonra öğrencilere Þekil 5'te bir öğrenci
tarafından doldurulmuş örneği görülen ve
dört soru içeren kağıt dağıtıldı. Bu kağıttaki
sorular aşağıda verilmiştir.
1. İşlemleri yap ,
uçurtmayı yerine bağla.
2. En uzun sayı doğrusunu çiz.
3. Ece'nin yaşı 3 yıl önce 5 idi. 2 yıl sonra kaç
olur? Sayı doğrusundan yararlanarak bul.
4. Ana kanguru 3'er 3'er , yavru kanguru 2'şer 2'şer zıplıyor.
Yuvadan birlikte ayrılıyorlar. Her zıplayışta yuvadan
ne kadar uzakta olurlar?
Çocukların
yazıp çizebilmeleri için soruların altında
boşluk bırakıldı. Ayrıca sorular yüksek sesle kendilerine
okundu. Alıştırma niteliğindeki 1. soruda 28 öğrencinin
tamamına yakını (21 öğrenci) dört işlemden en
az üçünü doğru yaptılar ve uçurtmaları
doğru yerlerine bağladılar. Diğer öğrencilerden sadece
2'si işlem sonuçlarıyla sayı doğrusunu ilişkilendiremedi.
İkinci soruya cevap
olarak öğrencilerin tamamı sayı doğrusunu temsil
edebilecek bir şekil çizdi ve bunlardan 16 tanesi,
çizdiği sayı doğrusunu 0'dan başlayarak kağıt boyunca
numaraladı. 7 öğrenci 1'den başlayarak numaraladı,
5 öğrenci sayı doğrusunu bölümlemesine
rağmen numaralamadan bıraktı.
Ece'nin bugünkü
yaşı ile ilgili olarak 13 öğrencinin sayı doğrusunda
10 olan doğru cevaba ulaştıkları gözlendi. Kalan
15 çocuktan 10 tanesi sayı doğrusu üzerinde
çalıştı fakat doğru sonuca ulaşamadı, diğer 5 tanesi
sayı doğrusu çizmeden aritmetik işlemlerle yapmaya
çalıştı fakat başarısız oldu.
Üçüncü
ve sonuncu soru olan kanguru ve yavrusunun hareketleri
ile ilgili soruya 13 öğrenci problemdeki hareketleri
modelleyen çizim yaptılar, ancak doğru sonuca 4
kişi ulaşabildi.
Sonuç
Bu çalışmada öğrencilerin elma merdiveninden
sayı doğrusu inşa edebildikleri gözlendi. Çalışmalarında
informal bilgi ve becerilerini rahatlıkla kullanabildiler.
Bazı öğrenciler bu merdiveni daha önce görmemişlerdi,
ancak onu tasarlamaları zor olmadı. Onlar da en az görenler
kadar başarılıydılar.
Sayı doğrusunun inşasında
"elma merdiveni" iyi bir model olarak gözükmektedir.
Ders kitaplarında yer alan modellere ve sayma ipine göre
(0) sıfırın yerinin doğal olarak oluşması ve sayılara
basamakların yanı sıra, işlem yaparken basamak aralıklarının
eşlenmesi bu modelin kalitesini yükseltmektedir.
Merdivenin tanınmıyor
olmasına rağmen olabilirliğine kolay kanaat getirilmesi,
gerektiğinde maketinin veya bir örneğinin yapılabilmesi
ve kullanımının kolayca anlaşılması, öğretimde kullanım
kolaylığı sağlamaktadır. Kaldı ki çocuklar merdiven
kavramına uzak değildi ve hatta çoğu yaşadığı en
az bir merdiven kazası olayı anlatmıştı.
Elma merdiveninin
sayı doğrusunun tüm özelliklerini (sağdan sonsuz)
kazanması da yaşanan hayat ve kazanılmış bulunan bilgiler
bağlamında kolay oldu ve merdiven sayı doğrusu kavramını
oluşturmada bir köprü görevini üstlendi.
Sayı doğrusunun zihinden işlem yapma, işlem becerilerini
geliştirme ve problem çözmede bir model olarak
kullanılmasının, bu yazıda sözü edilen yöntemle
mi yoksa diğer yöntemlerle mi kazanılması halinde
daha etkili olduğu ayrı bir tartışma konusudur. Bu tür
tartışmalara açıklık getirecek araştırmaların yapılması
beklenmektedir.
Kaynakça
Gravemeijer, K.
& Streefland, L.(1990). Developing Realistic Mathematics
Education, Freudenthal İnstitue, Utrecht, The Netherlands.
Hauvel-Panzuihen,
M. (1996). Assesment and Realistic Mathematics Education,
Freudenthal İnstitue, Utrecht, The Netherlands.
Klein, A S. &
Beishuizen, M. (1998). The Empty Number Line in Dutch
Second Grades:Realistic versus Gradual Program Design,
Journal for Research in Mathematics Education, 29.
Skemp, R. (1986).
The Psychology of Learning Mathematics. Penguin Books
LTD. 27 Wrights Lane London W8 5 TZ.
Treffers, A. (1991).
Didactical background of a mathematics program for primary
education" In L. Sttreefland (Ed.) Realistic Mathematics
Education İn Primary School, pp.21-56, Utrecht, THA
Netherlands.
İçindekiler
|